BAB III

LIMIT DAN FUNGSI KONTINU

3.1 Pengertian Limit

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

3.3 Limit Satu Sisi

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

3.6 Bilangan Alam

3.7 Fungsi Kontinu

Konsep limit mempunyai peranan yang sangat penting di dalam kalkulus dan berbagai bidang matematika. Oleh karena itu, konsep ini sangat perlu untuk dipahami. Meskipun pada awalnya konsep limit sukar untuk dipahami, tetapi dengan sedikit bantuan cara numeris kemudian konsep ini bisa dimengerti. Dan kenyataannya, setelah dipraktekkan masalah hitung limit relative mudah. Mengingat hal itu, maka pada bagian pertama Bab ini limit diterangkan secara intuitive (numeris). Kemudian pada bagian selanjutnya, dikembangkan teknik penghitungan limit.

3.1 Pengertian Limit

Terlebih dahulu diperhatikan fungsi

. Grafik

diberikan pada Gambar 3.1.1 di bawah ini.

Apa yang terjadi dengan

apabila x cukup dekat dengan 2? Perhatikan table 3.1.1 berikut.

Tabel 3.1.1

x		x
3	12	1,5	5,25
2,05	7,2025	1,95	6,8025
2,001	7,004001	1,999	6,996001
2,0001	7,00040001	1,9999	6,99960001

Dari table terlihat bahwa apabila x cukup dekat dengan 2, maka

mendekati 7. Hal ini tidak mengherankan, karena apabila dihitung

. Dalam hal ini dikatakan bahwa limit f(x) x mendekati 2 sama dengan 7, ditulis:

Selanjutnya, perhatikan fungsi f yang ditentukan oleh rumus:

Fungsi f tersebut tidak terdefinisikan di x = 1 karena di titik ini f(x) berbentuk

. Tetapi masih dapat dipertanyakan apa yang terjadi pada f(x) bilamana x mendekati 1 tetapi

. Untuk

Dari table 3.1.2 di bawah terlibat bahwa apabila x cukup dekat dengan 1, maka nilai

mendekati 2. Jadi,

Tabel 3.1.2

x		x
2	3	0,5	1,5
1,05	2,05	0,99	1,99
1,001	2,001	0,999975	1,999975
1,00000017	2,00000017	0,9999999	1,9999999

Dari beberapa uraian di atas, berikut diberikan definisi limit.

Definisi 3.1.1 Limit f(x) x mendekati c sama dengan L, ditulis:

jika untuk setiap x yang cukup dekat dengan c, tetapi , maka f(x) mendekati L.

Secara matematis definisi di atas dapat ditulis sebagai berikut.

jika untuk setiap bilangan e > 0 yang diberikan (berapapun kecilnya) terdapat bilangan d > 0 sehingga untuk setiap dengan berlaku .

Catatan: Pada definisi limit di atas, fungsi f tidak perlu terdefinisikan di c. Limit f(x) untuk x mendekati c mungkin ada walaupun f tidak terdefinisikan di c.

Contoh 3.1.2 Buktikan bahwa

(2x –5) = 3.

Penyelesaian:

|(2x –5) – 3| = |2x – 8| = |2(x – 4)| = |2| |x – 4| = 2|x – 4|

Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil d = e/2, maka untuk setiap x di dalam domain f yang memenuhi 0 <|x – 4| < d berlaku:

|(2x – 5) – 3| = 2 |x – 4| < 2 d = 2.e/2 = e.█

Contoh 3.1.3 Buktikan bahwa untuk c > 0,

Penyelesaian:

(3.1.1)

Ditinjau x >0 dengan sifat

. Menurut ketidaksamaan segitiga:

Hal ini berakibat:

(3.1.2)

Selanjutnya, dari (3.1.1) dan (3.1.2) diperoleh:

untuk setiap x>0. Diberikan bilangan e > 0 sebarang. Apabila diambil

maka untuk setiap x>0 dengan

berlaku:

Jadi, untuk setiap e > 0 terdapat δ>0 sehingga untuk setiap x>0 dengan

berlaku:

.█

Agar bisa lebih mendalami hitung limit, berikut diberikan sifat-sifat dasar limit.

Teorema 3.1.4 Jika ada maka nilainya tunggal.

Bukti: Misalkan dan . Akan ditunjukkan bahwa

Diberikan

sebarang, maka terdapat

sehingga:

, untuk setiap dengan .
, untuk setiap dengan .

Apabila diambil

maka untuk setiap

dengan

berlaku:

Hal ini berarti

.█

Contoh 3.1.5 Tunjukkan bahwa

tidak ada.

Penyelesaian: Untuk

Sementara, untuk

Karena nilai limit tidak tunggal maka

tidak ada.█

3.2 Teknik Aljabar Untuk Menghitung Limit

Sifat-sifat dasar limit yang dinyatakan dalam beberapa teorema berikut ini sangat diperlukan dalam hitung limit. (Dengan berbagai pertimbangan bukti teorema tidak disertakan dalam buku ini).

Teorema 3.2.1 (i).

(ii).

Teorema 3.2.2 Jika dan keduanya ada dan maka berlaku pernyataan-pernyataan berikut:

, asalkan
Untuk : (a).

(b).

, asalkan

(c).

, asalkan untuk n genap

Contoh 3.2.3

(a).

(b).

(c).

.█

Contoh 3.2.4 Hitung

Penyelesaian: Karena limit penyebut sama dengan 0, maka Teorema 3.2.2 (iv) tidak dapat digunakan. Akan tetapi, hal ini bukan berarti limit di atas tidak ada. Pada soal di atas, yang akan dihitung adalah nilai limit untuk x mendekati 2, bukan nilai untuk x sama dengan 2. Oleh karena itu, dengan memanfaatkan teknik-teknik aljabar, untuk

diperoleh:

Sehingga:

.█

Contoh 3.2.5 Tentukan .

Penyelesaian:

Contoh 3.2.6 Tentukan

Penyelesaian:

Pada contoh-contoh di atas telah digambarkan bagaimana teknik-teknik aljabar dapat digunakan untuk menyelesaikan soal hitung limit. Namun demikian tidak semua soal limit dapat diselesaikan dengan cara demikian. Sebagai contoh, misalnya

Dalam berbagai hal, teorema di bawah ini sangat membantu dalam penyelesaian soal hitung limit.

Teorema 3.2.7 (Teorema Apit) Misalkan f, g, dan h fungsi-fungsi sehingga untuk semua x di dalam interval terbuka yang memuat c, kecuali mungkin di c. Jika maka

Contoh 3.2.8 Tentukan

Penyelesaian: Untuk

. Oleh karena itu, untuk

berlaku:

Hal ini berakibat:

Selanjutnya, karena

maka

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 6, tunjukkan pernyataan berikut dengan definisi limit.

7. Jika

, tunjukkan bahwa

tidak ada.

Untuk soal 8 – 20, hitunglah masing-masing limit jika ada.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21.

22.

3.3 Limit Satu Sisi

Kiranya mudah dipahami bahwa

tidak ada, karena

tidak terdefinisikan untuk

. Namun demikian, apabila

maka

ada dan nilainya sama dengan 0. Hal ini membawa kita kepada definisi berikut ini.

Definisi 3.3.1 (i). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kanan f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

(ii). Misalkan f(x) terdefinisikan pada suatu interval . Apabila untuk x di dalam yang cukup dekat dengan c, nilai f(x) mendekati L, maka dikatakan bahwa L merupakan limit kiri f(x) untuk x mendekati c, ditulis:

Secara matematis, definisi di atas dapat dituliskan sebagai berikut:

(i). jika dan hanya jika untuk setiap

ada

sehingga untuk setiap berlaku

(ii). jika dan hanya jika untuk setiap

ada

sehingga untuk setiap berlaku

Contoh 3.3.2 (a).

dan

tidak ada.

(b). Untuk bilangan bulat n,

dan

Contoh 3.3.3 Tentukan

jika diketahui:

Penyelesaian:

(a). Untuk x cukup dekat dengan 0 (baik x < 0 maupun x > 0),

. Oleh karena itu,

(b). Untuk x cukup dekat dengan 1 dan x < 1,

. Sehingga:

Tetapi, untuk x cukup dekat dengan 1 dan x > 1,

. Sehingga:

.█

Dari beberapa contoh di atas, diperoleh beberapa kenyataan. Limit kiri suatu fungsi ada tetapi limit kanannya tidak ada (atau sebaliknya), limit kiri dan kanan suatu fungsi ada tetapi nilainya tidak sama, dan limit kiri dan kanan suatu fungsi ada dan nilainya sama. Selanjutnya, karena ketunggalan limit maka diperoleh pernyataan berikut.

Teorema 3.3.4 jika dan hanya jika

Sebagai akibat langsung dari Teorema di atas, diperoleh:

Akibat 3.3.5 Jika

maka tidak ada.

Pada Contoh 3.3.3 di atas, karena

maka

tidak ada.

Contoh 3.3.6 Diberikan:

Karena untuk

, maka:

Secara sama,

Selanjutnya, karena

maka:

.█

Contoh 3.3.7 Tentukan

jika diketahui:

Penyelesaian:

Jadi,

.█

3.4 Limit Tak Hingga dan Limit Menuju Tak Hingga

Terlebih dahulu diperhatikan masalah hitung limit berikut:

. Untuk nilai-nilai x yang cukup dekat dengan 0, maka nilai-nilai

diberikan pada table berikut ini.

Tabel 3.4.1

x		x
1	1	−1	1
0,5	4	−0,5	4
0,01	10.000	−0,01	10.000
0,0001	100.000.000	−0,0001	100.000.000
0,000005	40.000.000.000	−0,000005	40.000.000.000

Dari Tabel 3.4.1 di atas dapat dilihat bahwa apabila nilai x semakin dekat dengan 0, maka nilai

menjadi semakin besar. Bahkan nilai

akan menjadi besar tak terbatas apabila x mendekati 0, baik dari sisi kiri maupun dari sisi kanan. Grafik fungsi

dapat dilihat pada Gambar 3.4.1.

Dalam hal ini, dikatakan bahwa limit f(x) x menuju nol sama dengan tak hingga, ditulis:

Secara sama mudah diperlihatkan:

Selanjutnya, diperoleh definisi berikut:

Secara matematis, Definisi di atas dapat ditulis sebagai:

Contoh 3.4.2

(a).

(b).

Di atas telah diterangkan pengertian limit untuk

, dengan c suatu bilangan berhingga. Akan tetapi, dalam berbagai aplikasi sering ditanyakan bagaimana nilai

apabila nilai x cukup besar.

Sebagai contoh, bagaimana nilai

apabila nilai x cukup besar? Tabel 3.4.2 di bawah memperlihatkan nilai f untuk berbagai nilai x. Ternyata semakin besar nilai x (arah positif), nilai

semakin kecil mendekati nol. Dalam hal ini dikatakan:

Tabel 3.4.2

(a) (b)

x		x
10	0,1	−1	−1
1.000.000	0,000001	−1.000.000	−0,000001
5.000.000	0,0000002	−5.000.000	−0,0000002
100.000.000	0,00000001	−100.000.000	−0,00000001

Secara sama, apabila x besar tak terbatas arah negative ternyata berakibat

mendekati nol, yaitu:

Kemudian dapat diturunkan pengertian limit menuju tak hingga. Hal itu dituliskan dalam definisi berikut.

Definisi 3.4.3 (i).

jika

terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah positif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah positif) maka

mendekati L.

(ii).

jika

terdefinisikan untuk setiap nilai x cukup besar (arah negatif) dan jika x menjadi besar tak terbatas (arah negatif) maka

mendekati L.

Secara matematis, Definisi 3.4.3 dapat ditulis sebagai:

(i).

jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk setiap berlaku .

(ii).

jika untuk setiap bilangan real terdapat bilangan sehingga untuk setiap berlaku .

Mudah ditunjukkan bahwa:

dan

Contoh 3.4.4 Tentukan

Penyelesaian: Untuk

. Sehingga

. Selanjutnya, karena

maka dengan Teorema Apit diperoleh:

.█

Contoh 3.4.5 Hitung

Penyelesaian: Karena:

maka sifat limit perbagian tidak dapat digunakan. Namun demikian apabila pembilang dan penyebut sama-sama dibagi dengan

maka:

.█

Contoh 3.4.6 Tentukan

Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

, diperoleh:

.█

Contoh 3.4.7 Hitung

Penyelesaian: Dengan membagi pembilang dan penyebut dengan

, diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 20, tentukan nilai limitnya jika ada. Jika tidak ada limitnya, terangkan alasannya!

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

21. Tentukan

, dan

jika diberikan:

22. Fungsi f yang terdefinisikan pada

dikatakan genap (atau ganjil) jika

(atau

) untuk setiap

. Jika

maka tentukan

jika: (a). f genap, (b). f ganjil.

3.5 Limit Fungsi Trigonometri

Dengan memanfaatkan Teorema Apit, dapat ditunjukkan teorema di bawah ini.

Teorema 3.5.1 (i).

(ii).

Contoh 3.5.2 Hitung

Penyelesaian:

Tetapi untuk

berakibat

dan

, sehingga:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 12, hitunglah nilai limitnya.

10.

11.

12.

3.6 Bilangan Alam

Pada bagian ini, pembaca diingatkan kembali pada rumus binomium Newton. Untuk sebarang

dan

(3.6.1)

Apabila diambil

, maka dari (3.6.1) diperoleh:

Karena

maka menurut Teorema Apit nilai

ada. Berdasarkan perhitungan, untuk

diperoleh:

Selanjutnya, e disebut bilangan alam. Secara sama dapat ditunjukkan:

(3.6.2)

Mudah ditunjukkan bahwa untuk

berlaku:

Selanjutnya, apabila diberikan sebarang bilangan real positif x maka dapat dicari bilangan asli m dan n sehingga

. Hal ini berakibat:

dan karena

maka sekali lagi dengan Teorema Apit diperoleh:

(3.6.3)

Berdasarkan (3.6.2), tentunya mudah dipahami bahwa:

(3.6.4)

Selanjutnya, apabila diambil substitusi

, maka untuk

berakibat

. Sehingga, dari (3.6.3) dan (3.6.4) diperoleh:

(3.6.5)

Contoh 3.6.1 Hitung

Penyelesaian: Apabila diambil substitusi

maka berturut-turut diperoleh:

(i).

, sehingga

(ii). Karena

maka untuk

berakibat

Selanjutnya, berdasarkan (3.6.4):

.█

Contoh 3.6.2 Tentukan

Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Diambil substitusi

. Jika

maka

. Selanjutnya, menurut (3.6.5) diperoleh:

.█

Teorema berikut ini sangat bermanfaat untuk menyelesaikan soal-soal hitung limit yang berkaitan dengan bilangan alam. Bukti diserahkan kepada pembaca sebagai latihan.

Teorema 3.6.3 Apabila dan maka:

Contoh 3.6.4 Tentukan

Penyelesaian: Soal dapat ditulis:

Apabila berturut-turut diambil

dan

maka:

Selanjutnya, menurut Teorema 3.6.3:

.█

Contoh 3.6.5 Hitung

Penyelesaian:

Selanjutnya, jika diambil

dan

maka:

Sehingga menurut Teorema 3.6.3:

.█

Contoh 3.6.6 Selesaikan

Penyelesaian: Tulis:

Berturut-turut diambil substitusi:

maka:

(i).

(ii).

Selanjutnya, dari (i) dan (ii) diperoleh:

.█

Soal Latihan

Untuk soal 1 – 10, hitunglah nilai limitnya.

10.

3.7 Fungsi Kontinu

Seperti telah dijelaskan pada bagian sebelumnya, kadang-kadang nilai

sama dengan

, kadang pula tidak sama. Pada kenyataannya, meskipun

tidak terdefinisikan akan tetapi

mungkin ada. Apabila

maka dikatakan fungsi f kontinu di c.

Definisi 3.7.1 Fungsi f dikatakan kontinu di jika

Definisi 3.7.1 di atas secara implisit mensyaratkan tiga hal agar fungsi f kontinu di a, yaitu:

(i). f(a) ada atau terdefinisikan,

(ii).

ada, dan

(iii).

Secara grafik, fungsi f kontinu di

jika grafik fungsi f pada suatu interval yang memuat a tidak terpotong di titik

. Jika fungsi f tidak kontinu di a maka dikatakan f diskontinu di a. Pada Gambar, f kontinu di x₁ dan di setiap titik di dalam

kecuali di titik-titik x₂, x₃, dan x₄. Fungsi f diskontinu di x₂ karena

tidak ada, diskontinu di x₃ karena nilai

tidak sama dengan nilai fungsi di x₃ (meskipun keduanya ada), dan diskontinu di x₄ karena nilai fungsi di titik ini tidak ada.

a x₁ x₂ x₃ x₄ b

Gambar 3.7.1

Fungsi f dikatakan kontinu pada interval I jika f kontinu di setiap titik anggota I.

Contoh 3.7.2

(a). Fungsi f dengan rumus

diskontinu di x = 1 karena f (1) tidak terdefinisi.

(b). Fungsi Heavyside H yang didefinisikan oleh

diskontinu di x = 0 sebab

tidak ada.

(c). Fungsi g dengan definisi:

diskontinu di x = 2 sebab g(2) = 3 sedangkan

. Namun demikian fungsi g kontinu di x = 1 sebab

.█

Berikut sifat-sifat dasar fungsi kontinu.

Teorema 3.7.3 Jika fungsi f dan g kontinu di a, dan k sebarang konstanta real, maka f+g, f – g, kf, dan fg kontinu di a. Demikian pula,

kontinu di a asalkan

Seperti halnya pada hitung limit, dalam kekontinuan juga dikenal istilah kontinu satu sisi. Hal itu diberikan pada definisi berikut ini.

Definisi 3.7.4 (i). Fungsi f dikatakan kontinu dari kiri di a jika

(ii). Fungsi f dikatakan kontinu dari kanan di c jika

Contoh 3.7.5 Diberikan

Selidikilah kekontinuan fungsi f.

Penyelesaian:

Jelas f tidak kontinu pada

dan pada

sebab f tidak terdefinisi pada interval tersebut. Untuk nilai-nilai a dengan –1 < a <1 diperoleh:

Jadi, f kontinu pada (-1, 1). Dengan perhitungan serupa didapatkan:

dan

sehingga f kontinu dari kanan di x = -1 dan kontinu dari kiri di x = 1. Jadi, f kontinu pada

.█

Teorema 3.7.6 Fungsi polinomial, fungsi rasional, fungsi akar, fungsi logaritma, fungsi eksponen, dan fungsi trigonometri kontinu pada domainnya masing-masing.

Contoh 3.7.7

(a).